روش تفاضلات متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مقیاس های خیلی کوچک

 

 

توجه داشته باشید: درصورتی که شما صاحب اثر این فایل می باشید یا به هر دلیلی نسبت به فایل تحقیقاتی مذکور در این پست مالکیت معنوی دارید و درخواست حذف آن را دارید، در واتس آپ به شماره 09100636002 پیام دهید تا ظرف 24 ساعت نسبت به حذف فایل از روی سایت دانشجوسرا اقدام شود. در صورت تمایل و درخواست، دو مقاله به صورت رایگان (به نام پژوهشگر و دانشجو) در مجلات علمی معتبر پذیرش شده و چاپ می گردد. ((حفظ حقوق معنوی صاحب اثر در اولویت فعالیت سایت دانشجوسرا می باشد))

 

مقدمه

موضوع معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، یکی از موضوعات خاص و با اهمیت در ریاضیات می باشد. بیش از 250 سال است که به طور آشکار معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مهم ترین ابزار موجود برای بشر به منظور درک تنوع وسیع پدیده ها ی طبیعی و سپس به موجب آن فعالیت بشر و پیشرفت تکنولوژی بوده اند.معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به طور خاص به عنوان یک موضوع مطرح نشد بلکه به علت ضرورتی که در قرن 18 وجود داشت و معادلات دیفرانسیل معمولی قادر به بیان یک سری اصول فیزیکی نبودند مورد مطالعه قرار گرفت. ابتدا مکانیک، فیزیک و کاربردهای آن ها از تاثیر معادلات دیفرانسیل جزئی در مدل سازی و طراحی بهره برده اند. ژوزف فوریه مشهور در زمینه بسط سریها برای معادله گرما تحقیقاتی داشتند. بسیاری از پیشرفتهایی که امروزه در علم جدید به آن دست می یابیم بر اساس مطالعات در زمینه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. ضرورتا مطالعه معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مستلزم دانستن مفاهیم مختلف در ریاضیات است. مهمترین نکته دانستن وجود جواب و یکتایی آن و آنالیز تابعی و خواص مختلف آن است. آنچه که در مهندسی و ریاضیات کاربردی مهم است پیدا کردن جواب مفید چه از طریق عددی یا تحلیلی می باشد.ایده اصلی در تقریبا تمام روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل ، تقریب آنها با یک سیستم از معادلات جبری می باشد. این سیستم معادلات جبری چنان هوشمندانه برپا می شوند که جواب آنها، تقریب خوبی از جواب معادله دیفرانسیل را فراهم می آورد. ساده ترین راه برای تولید چنین سیستمی، جایگزینی مشتقات با تفاضلات متناهی می باشد. در واقع، هر روش تفاضل متناهی نشأت گرفته از تعریف ساده و ابتدایی مشتق یک تابع یکنواخت می باشد.

در این رساله سعی داریم روش تفاضلات متناهی را برای حل معادله گرما و پایداری روش را مورد بررسی قرار دهیم که عمدتا با توجه به مقالات زیر ، مسئله گرما در حالت مقیاس های کوچک و همچنین روش های مختلف حل این نوع معادلات ، مورد بررسی قرار گرفته است:

 

1.W.Dai.R.Nassar, A compact finite-difference scheme for solving a one-dimensional heat transport equation at the microscale.

 

2.Gerald W.Recktenwald, finite-difference approximations to the heat equation.

 

3.G.D.Smith, Numerical solution of partial differential equations:Finite Difference methods.

 

4.Tyn Myint-U, Partial Differential Equations of mathematical physics.

 

5.A.Tveito,R.Winther, Introduction to partial differential equations.

 

این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است.

• در فصل اول ، مفاهیم بنیادی در معادلات دیفرانسیل جزئی را بررسی می کنیم.
• در فصل دوم به معرفی روش تفاضل متناهی و انواع آن ، مقایسه آنها و سپس به سازگاری ، پایداری و همگرایی این روش ها نیز می پردازیم.
• در فصل سوم روش تفاضل متناهی را برای حل معادله انتقال گرما در مقیاس های کوچک به کار می گیریم و سپس با معرفی روش تفاضل متناهی فشرده، به بررسی پایداری این روش با آنالیز فوریه گسسته پرداخته و با دو مثال عددی صحت روش را نشان می دهیم.

 

 

چکیده:

انتقال گرما در راستای لایه های نازک، نقش بسیار مهمی در تکنولوژی های میکروسکوپی ایفا می کند.پوسته نازکی از فلزها، از دی الکتریک هایی مانند (دی اکسید سیلیسیم) یا (سیلیسیم)، نیمه رساناها، بخش های مهمی از تجهیزات میکروالکترونیک را تشکیل می دهند. کاهش سایز طرح به مقیاس های میکروسکوپی دارای امتیاز افزایش میزان تغییر سرعت طرح مورد بررسی می شود. از طرف دیگر، کاهش سایز طرح، منجر به افزایش نرخ تولید گرمایی که محموله های گرمایی بزرگ را به سمت طرح های میکروسکوپی هدایت می کند می شود.

در این رساله ، یک روش تفاضل متناهی فشرده برای معادله انتقال گرما در مقیاس های خیلی کوچک را گسترش خواهیم داد و بطور نا مشروط پایداری این روش را با روش آنالیز فوریه گسسته، نشان می دهیم و در پایان ،مثال های عددی صحت جواب را نشان می دهند.

فهرست مطالب

عنوان صفحه

چکیده:1

مقدمه. 2

فصل اول: کلیات.. 4

1-1: معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي. 5

1-2: معادلات با مشتقات جزئي مرتبه دوم. 7

1-3: طبقه بندي معادلات با مشتقات جزئي مرتبه دوم نيمه خطي. 8

1-4 : شرايط اوليه و شرايط مرزي. 14

فصل دوم: روش های تفاضلات متناهی. 17

2-1مقدمه. 18

2-2 تعاریف اولیه. 19

2-3 فرمول بندی تفاضل متناهی. 22

1-3-2 بسط سری تیلور22

2-4 تقریب های تفاضل متناهی. 27

2-5 روش بی بعد کردن. 27

2-6: بررسی روش های صریح. 28

2-7: معرفی انواع روش های صریح و مقایسه آن ها30

2-7-1 روش پیشرو نسبت به زمان و تفاضل مرکزی نسبت به مکان(کلاسیک صریح)30

2-7-2 روش ریچاردسون. 32

2-7-3 روش دوفورت-فرانکل. 33

2-8 روش های ضمنی. 38

2-8-1 روش پسرو نسبت به زمان، تفاضل مرکزی نسبت به مکان. 38

2-8-2 روش لاسونن. 40

2-8-3 روش کرنک-نیکلسون. 40

2-8-4 فرمولبندی بتا44

2-8-5: روش ذوزنقه ای. 44

2-9 مقایسه روش های FTCS و BTCSو کرنک نیکلسون. 45

2-9-1پایداری. 47

2-9-2 تحقیق در باره تخمین خطای برشی. 48

2-9-3 اندازه گیری های خطاهای برشی. 49

2-10: تفاضل محدود به کمک چند جمله ای ها51

2-11 تقریب های تفاضلات متناهی در حالت دو بعدی. 54

2-12 روش ضمنی با جهت متغیر (آ- دی – ای)56

2-13 تقریب های تفاضلات متناهی در حالت 3بعدی. 58

2-13-1 معادله سهموی در مختصات استوانه ای. 58

2-13-2 معادله سهموی در مختصات کروی. 59

2-14 سازگاري. 61

2-15 همگرایی. 62

2-16 پایداری. 65

2-16-1 بررسی پایداری با استفاده از روش سریهای فوریه (روش ون – نیومن)66

2-16-2 بررسی پایداری با استفاده از روش انرژی. 72

2-16-3 بررسی پایداری با استفاده از روش ماتریسی. 74

2-17 تاثیر جملات مرتبه پایین در پایداری. 76

2-18 روش معادله اصلاح شده برای تعیین دقت روش های تفاضل متناهی. 78

2-18-1 بیان معادله اصلاح شده79

2-18-2 مرتبه دقت.. 80

فصل سوم: روش تفاضلات متناهی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مقیاس های خیلی کوچک 83

3-1 قانون فوریه. Error! Bookmark not defined.84

3-2 معادله انتقال گرما در مقیاس کوچک.. 88

3-3 تقریب تفاضل متناهی معادله انتقال گرما در مقیاس کوچک با استفاده از روش کرنک نیکلسون 87

3-4روش انرژی گسسته برای برآورد پایداری. 87

3-5 روش تفاضل متناهی فشرده88

3-6 مثال های عددی. 91

3-7 پایداری. 95

3-8 نتیجه گیری. 113

پیوست برنامه های کامپیوتری و نمودارهاError! Bookmark not defined.101

114...……………………………………………………………………………واژه نامه

منابع....................................................................................................................................118

چکیده انگلیسی..............................................................................................................................120

 

 

 

توجه داشته باشید: درصورتی که شما صاحب اثر این فایل می باشید یا به هر دلیلی نسبت به فایل تحقیقاتی مذکور در این پست مالکیت معنوی دارید و درخواست حذف آن را دارید، در واتس آپ به شماره 09100636002 پیام دهید تا ظرف 24 ساعت نسبت به حذف فایل از روی سایت دانشجوسرا اقدام شود. در صورت تمایل و درخواست، دو مقاله به صورت رایگان (به نام پژوهشگر و دانشجو) در مجلات علمی معتبر پذیرش شده و چاپ می گردد. ((حفظ حقوق معنوی صاحب اثر در اولویت فعالیت سایت دانشجوسرا می باشد))